Sổ tay Thích Học Toán

Phải thừa nhận là “Phạm trù và đồng luân (1)” rất khó hiểu, không chỉ đối với người đọc mà cả đối với người viết Tôi đã mắc khuyết điểm là kéo bạn đi quá nhanh, đi từ những cái bạn biết là không gian tô pô, ánh xạ liên tục đến những chỗ mà cả bạn lẫn tôi và thực ra cả nhân loại chưa hiểu rõ, đó là đồng luân cấp cao.

Bây giờ là lúc bạn nhẩn nha quay chậm lại cuộn phim để níu kéo lại một chút gì hữu hình cho bạn. Bạn có một không gian tô pô . Bạn xét các điểm của , rồi xét các đoạn thẳng trong tức là các ánh xạ liên tục , rồi các hình vuông trong tức là các ánh xạ liên tục , rồi hình vuông ba chiều (lập phương), rồi hình vuông chiều.

Cố định một điểm qui chiếu . Nhóm cơ bản là nhóm các lớp tương đương (đồng luân) các đoạn thẳng xuất phát và kết thúc tại điểm , tức là ánh xạ với . Nói cách khác thì là một ánh xạ liên tục từ hình tròn vào . Khi bạn buộc hai đầu mút của đoạn lại với nhau, nó trở thành cái gì đó giống như hình tròn.

Phần tử đơn vị của là lớp của ánh xạ hằng với với mọi . Đồng luân của với chính nó là một ánh xạ liên tục nhận giá trị trên biên của hình vuông. Nói cách khác là một ánh xạ liên tục từ mặt cầu vào . Tưởng tượng hình vuông như một cái mù soa, khi bạn buộc biên của mù soa lại, nó trở thành cái gì đó giống như mặt cầu. Như vậy nhóm đồng luân cấp hai là nhóm các lớp tương đương (đồng luân) của các ánh xạ liên tục gửi một điểm qui chiếu của mặt cầu (nơi biên của hình vuông chập lại) lên điểm qui chiếu của . Đọc tiếp »